PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

 

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1^er término.

a_n = a₁ · r^n-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

a_n = 3· 2^n-1 = 3· 2ⁿ · 2^-1 = (3/2)· 2ⁿ

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

a_n = a_k · r^n-k

a₄= 24, k=4 y r=2.

a_n = a₄ · r^n-4

a_n = 24· 2^n-4= (24/16)· 2ⁿ = (3/2) · 2ⁿ

 

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3,      6, 12, 24 ,      48.

 

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

 

Producto de dos términos equidistantes

Sean a_i y a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

a_i . a_j = a₁ . a_n

a₃ · a_n-2 = a₂ · a_n-1 = ... = a₁ · a_n

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

 

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Ejercicios de progresiones geométricas
http://www.vitutor.com/al/sucesiones/pg_e.html

PROBLEMAS PROPUESTOS ;)

http://tinet.fut.es/~picl/mates/pa.htm#problemas
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html
http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/algebra/patrones/patron4.gif&imgrefurl=http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/algebra/patrones/patrones.htm&usg=__6MMdDRInKvSUzwR3GSOCEt8sIs8=&h=165&w=276&sz=5&hl=es&start=18&zoom=1&um=1&itbs=1&tbnid=NXBZGiiSRyoC0M:&tbnh=68&tbnw=114&prev=/images%3Fq%3Dprogresiones%2Baritmeticas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26tbs%3Disch:1

ARITMETICA con */ "freedove" /*

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales. Proviene de ἀριθμητικός, término de origen griego; arithmos αριθμός que quieren decir número y techne habilidad.

PROGRESIONES ARITMETICAS

Sucesiones numéricas  

Las sucesiones y progresiones son conjuntos ordenados de números reales, como, por ejemplo, la numeración de las butacas. Cada uno de los números se denomina término de la sucesión.

Sucesiones

En la vida cotidiana se dan multitud de situaciones donde aparecen sucesiones numéricas o de objetos de forma ordenada.

• Las temperaturas medias de una población en los distintos meses del año.
• Los tiempos que invierte un corredor en cada una de las vueltas al circuito.
• Los conjuntos numéricos siguientes: el de los números pares, el de los números primos, o el de los múltiplos de 3.

Una sucesión es un conjunto ordenado de números. Aquí tenemos algunas sucesiones:

1. a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...
2. b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
3. c) 1, 4, 16, 64, 256, ...
4. d) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
5. e) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
6. f ) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Varias de estas sucesiones se forman siguiendo un criterio. Así:

1. a) Cada número es el anterior más 2.
2. b) Cada número es la suma de los dos anteriores.
3. c) Cada número es el anterior multiplicado por 4.
4. d) Cada número es el anterior más 2, 3, 4...
5. e) Cada número es el cuadrado de la serie de números naturales.
6. f ) Es la sucesión de los números primos.

Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de números reales: a1, a2, a3, a4, ... A cada uno de los números que forman la sucesión se le llama término de la sucesión.

Por tanto, en la sucesión 1, 11, 111, 1.111, 11.111, ...:

a₁ = 1 a₂ = 11 a₃ = 111

a₄ = 1.111 a₅ = 11.111 ...

Los números 1, 11, 111, ..., son los términos de la sucesión.

Las sucesiones numéricas pueden ser finitas, cuando el número de términos es limitado, o infinitas, si tienen un número ilimitado de términos.

Un ejemplo de sucesion finita es la formada por todos los numeros naturales menores que 100:

1, 2, 3, 4, 5, ..., 99 → Tiene 99 terminos.

Un ejemplo de sucesion infinita es la formada por todos los numeros naturales impares:

1, 3, 5, 7,..., 99,... → Tiene un numero ilimitado de terminos.

Desde el punto de vista matematico, las sucesiones mas interesantes son las infinitas o ilimitadas, como la de los numeros pares, la de los numeros primos, etc.